算法设计与分析第三章作业

计科2101宋嘉妮 2022-11-14 12:09:17

一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2，我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2，又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

格式如下：

状态表示：m[i][j]表示从i到j的合并代价

状态方程：m[i][j] = min( m[i][j], m[i][k] + m[k+1][j] + sum[i, j]);

边界条件：i == j, m[i][j] = 0;

时间复杂度分析：O(n^3)

空间复杂度分析：O(n^2)

二.、结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

(1) 动态规划类题目一般有如下特点：

1、计数类

——有多少种方式走到哪里；有多少种方法选出k个数使和时sum...

2、求最大/最小值类

——从开始到结尾路径的最大数字和；最长上升子序列长度...