算法设计与分析第三章作业

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一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

状态表示：dp[i][j]表示合并第i堆石头到第j堆石头的最小代价

状态方程:  dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])(i<=k<j)

sum[j]:表示从第一堆到第j堆的石头总质量。

边界条件：j>=i(if(i==j) dp[i][j]=0;如果只有一堆石头的话，合并的代价为零)

时间、空间复杂度分析：时间复杂度O(n^3),空间复杂度O(n^2)

具体代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int m_max=0x3f3f3f3f; 
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	int a[n],sum[n];
	sum[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	    sum[i]=a[i]+sum[i-1];
	}
	int dp[n][n];
	
	//表单的初始化；
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=i;j<=n;j++)
		    dp[i][j]=m_max;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	dp[i][i]=0;
	//打表
	for(int i=n-1;i>=1;i--)
	{
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		{
			for(int k=i;k<j;k++)
			{
				dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
			}
		}
	 }
	 cout<<dp[1][n]; 
 } 

二.、结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

学习完动态规划后，影响最深刻的就是郑老师说的那句，我们每时每刻都在做决策，在每次决策的时候都一一列举出每种情况，一一对比，做出最优的决策。三思而后行，这就是动态规划。可以使用动态规划的问题特征：一是最优子结构，二是重叠子问题特征。在写动态规划的时候，最重要的就是写出递归方程式，在确定表的维数、表的范围、按照一定顺序打表。