合并石堆问题（动态规划）（算法设计与分析作业3）

[20211003238]

问题描述：
设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

状态表示：
target[i][j]表示把第i堆石子到第j堆石子合并成一堆石子需要的最小代价
sum[i][j]表示第i堆石子到第j堆石子之间所有堆石子的总质量

状态方程：
当i<j时
target[i][j] = min(target[i][i] + target[i + 1][j] + sum[i][j], target[i][k] + target[k + 1][j] + sum[i][j]);
当i=j时
target[i][j] = sum[i][j];

边界条件：
只有一堆石子的时候就不用合并了，直接返回这一堆石子质量

时间、空间复杂度分析

时间复杂度：
从最后一堆石子往前一直增加加入计算的石子堆数，有n轮，每轮要从当前加入的石子堆数一直往后去更新保存最优合并方法的最优值，第n轮需要n次，每次更新都需要划分中断点，第n次更新需划分n次，故时间复杂度为O（n * 3）

空间复杂度：
定义一个二维存放最优合并次数的数组，空间复杂度为O（n * 2）