算法的第三章作业。。

[计科2101李婧]

一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

 格式如下：

状态表示：用dp[i，j]表示从第i堆石子到第j堆石子的全部方案 并从中找出最小代价的方案（即找出相邻两数相加最小）

状态方程：dp[i , j] = min(dp[i , j] , dp[i , k] + dp[k , j] + sum[j] - sum[i - 1])    最后返回dp[1][n]

             当前将[i,k]和[k+1,j]合并成[i,j]的代价为：合并成[i,k]的最小代价dp[i,k] + 合并成[k+1,j]的最小代价dp[k+1,j] + 将这两堆合并的代价sum[j]-sum[i-1] 

边界条件：只有两个石子堆    

时间、空间复杂度分析：时间复杂度O(n^3) （左端点、右端点、合并分界线三次循环）

 

二.、结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

  动态规划的基本思想就是把待求问题分解成若干个子问题，先求解子问题，再结合这些子问题的解得到原文题。动态规划对于找到最优解答有重要作用.通常有四个步骤：1、找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2、递归的定义最优值；3、以自底向上的方式（填表）；4、构建最优值

  经过这一章的学习，我觉得重难点是在理解题目，分析题目，找到状态表示、状态方程、边界条件。对子问题进行分析的时候，自己找个小例子画一下子问题分解图。