算法与分析第三章作业

[软工2101罗添权]

一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

 

状态表示：dp[i][j] 表示合并第i堆石子到第j堆石子的最小代价;

状态方程：dp[i][j]=min(dp[i]][j], dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j])  ,  1<=i<=k<=j<=N;

边界条件：i = j 时，dp[i][j] = 0 （合并一堆石子的代价为0）;

复杂度分析：需要运用三重循环，所以时间复杂度为O(n^3)。需要建立二维数组，所以空间复杂度为O(n^2)。

 

二.、结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

      动态规划可以将一个比较复杂的问题拆解为若干个较为简单、好解决的小问题，并且小问题的最优解一定是原问题的最优解，这为我们解决问题提供了很好的思路和方法;

解决方法:动态规划最关键的是找到题目要求的状态方程,根据题目提供的条件确定边界和特殊情况后作解

难点：动态规划方程的寻找