算法设计分析第三章作业

[软工2101张思彤]

一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

状态表示

a[n] 表示每堆石子的质量

sum[i][j] 表示第i石子到第j堆狮子的总质量

dp[i][j] 表示从i堆石子合并到j堆石子的最小代价

状态方程

dp[i][j]=0 if i==j

dp[i][j]=min(dp[i][j] , dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]) , i<=k<=j-1

边界条件

i==j

算法分析

空间复杂度 O(n^2)

时间复杂度O(n^3)

二.、结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

动态规划是一种自下而上的算法，是一个先求解子问题然后逐步由子问题求解出最终问题的过程，其核心思想是“ 将子问题的求解结果保存 ”，当需要用到子问题的解时直接从读取子问题的解，而不是对子问题进行重复计算。