【动态规划】算法设计分析第三章作业

[软工2101_陈卓玮]

一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

状态表示：

        dp[i][j]表示把从第i到第j堆石子合并起来的最小代价

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状态方程：

            

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边界条件：

           

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时间、空间复杂度分析:

填表阶段运用了三重循环，所以时间复杂度为

需要建立二维数组，所以空间复杂度为

 

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二、结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

    动态规划算法的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其他的算法。选择动态规划算法是因为动态规划算法在空间上可以承受，而搜索算法在时间上却无法承受，所以我们舍空间而取时间。

    实现动态规划算法的关键在于写出他的动态规划状态方程，而在实践过程中发现，写出动态规划状态方程的关键一步在于分析出最小子问题和他们的重叠关系。

    因此可以总结出一条适用大部分dp问题的解决思路：
        1、分析问题的最小子问题和他们的重叠关系

        2、设计dp存储矩阵（状态表示）

        3、写出动态规划状态方程

        4、根据动态规划方程及依赖关系确定填表顺序

        5、代码实现