算法设计与分析第三章作业

软工2103叶伟杰 2022-11-14 23:58:18

一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2，我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2，又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

首先 N堆石子，可以看作2份N/2堆的石子各自合并的问题，再将2份石子合并一次得解，符合重叠子问题性质。

其次，原问题N堆石子的解取决于2份N/2堆石子的合并问题的最优解，符合最优子结构。

则我们可以分析出：

状态表示：dp[i][j] 表示第i堆石子到第j堆石子合并的最小总代价；

状态方程：dp[i][j] = min( dp[i][j] , dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1] ) 1<=i<k<j<=N；//sum为前缀和数组辅助；

边界条件：dp[i][j]=0 i = j ;

时间复杂度：O(n^3)

空间复杂度：O(n^2)

附上代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int dp[10010][10010];
int sum[10010];
int stone[10010];
int main()
{
    int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>stone[i];
		sum[i]=sum[i-1]+stone[i];
	}
    for(int len=1;len<=n;len++)
    {
	    for(int i=1;i+len-1<=n;i++)
        {
    		int j=i+len-1;
    		if(len==1)
    			dp[i][j]=0;
			else
            {
				for(int k=i;k<j;k++)
                {
					if(dp[i][j]!=0)
						dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
					else
						dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
				}
			} 
		}
	}
	cout<<dp[1][n]<<endl;
	return 0;
}