算法设计与分析第三章作业

[软工2103李绵铃]

一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。 每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量 现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24； 如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

状态表示： 数组a[N]表示每堆石子的质量 sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量 dp[i][j] 表示 从第i堆石子到第j堆石子的最小代价

状态方程： dp[i][j] = min ( dp[i][j] , dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum [i][j] ) if i <= k < j

边界条件： dp[i][j] = 0 if (i==j)

时间、空间复杂度分析： 时间复杂度：O(n^3) 空间复杂度：O(n^2)

 

对动态规划法的总结：

是对传统递归的一种优化，它将一个问题拆成几个子问题，分别求解这些子问题，即可推断出大问题的解。一个问题是否能用动态规划来解决取决于这些”小问题“会不会被重复调用。 

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