算法与设计第三章作业

[软工2101张文俊]

一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

 格式如下：dp[i][j] 表示第i堆石子到第j堆石子合并的最小总代价；

状态表示：dp[i][j] = min( dp[i][j] , dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1] )        1<=i<k<j<=N；/

边界条件：dp[i][j]=0,   i = j ;

时间复杂度：O(n^3)

空间复杂度：O(n^2)

二.、结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

动态规划法最核心的思想，就在于拆分子问题，记住过往，减少重复计算。用动态规划法做题时，可按如下步骤解题：

1.用穷举法进行分析
2.确定边界条件
3.找出规律，确定最优子结构
4.写出状态转移方程