算法设计与分析第三章作业

[软工2103张荣锋]

一、请写出以下题目的动态规划方程：

一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

1. 定义：

         n ：石子个数；

         f[n][n] : 用于存储第a个石子到第 b 个石子之间的最小合并代价（f[a][b]）；

         s[n] : 用于存储第1个石子到第m个石子的代价和（s[m]）；

          len ： 当前合并石子的个数；

           i ：合并石子的第一个石子序号；

           j ： 合并石子的最后一个石子序号；

           k ： 合并石子的第一个石子与最后一个石子之间的各个序号；

 

      2.状态方程：f[i][j]=min(f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1],f[i][j]);  i<=k<=j;

      3.时间复杂度：T（n）=O（n^2）;

      4.空间复杂度：T（n）=O （n^2）;

 

二.、结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

       第三章的动态规划算法与分治法类似，基本思想都是将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题，再结合这些子问题的解得到原问题的解。但在动态规划中，子问题的解不是相互独立的，而是往往通过利用子问题的解构造原问题的最优解，从而减少大量的重复计算。所以，我认为动态规划是分治法的一个更好的优化，希望自己能学好动态规范算法。