算法设计与分析第四章作业

[软工2101詹一奇]

一、程序存储问题

设有n 个程序{1,2,…, n }要存放在长度为L的磁带上。程序i存放在磁带上的长度是 li，1≤i≤n。 程序存储问题要求确定这n 个程序在磁带上的一个存储方案， 使得能够在磁带上存储尽可能多的程序。 对于给定的n个程序存放在磁带上的长度，计算磁带上最多可以存储的程序数。
输入格式:
第一行是2 个正整数，分别表示文件个数n和磁带的长度L。接下来的1行中，有n个正整数，表示程序存放在磁带上的长度。
输出格式:
输出最多可以存储的程序数。

解法：由题意可得程序需要在磁带上存放尽量多的程序，因此不难想到需要用贪心策略去解决此问题。选择最短长度程序段优先的方式作为贪心策略，将数组按从小到大的顺序排序，每次在数组中选择一个最小的程序放入程序段中，即可得到最优解。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int n,l;
    cin>>n>>l;
    int *a = new int[n];
    for(int i = 0;i<n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    sort(a,a+n);
    int ct = 0;
    for(int j = 0;j<n;j++){
        if(l-a[j]>=0){
            ct++;
            l-=a[j];
        }
        else break;
    }
    cout<<ct;
    return 0;
}

反证法证明：假设程序P=｛1， 2， ...，n｝按程序在磁带上的长度非递减排列，则程序1的长度最小。
我们假设A为最优解，且最先放进磁带的是程序k，若k=1，则A是一个以贪心选择开始的最优解。
若k>1，我们令B=A–{k}∪{1}，因为程序 1 的长度小于程序 k 的长度，且 A中的程序个数与B相同，故B也是一个最优解，而B包含程序1，故总存在以贪心选择开始的最优存储方案。

时间复杂度分析：程序中复杂度最高的语句为遍历数组寻找最小值以及输入数组，故时间复杂度为O(n)。

二、对贪心算法的理解

贪心算法，顾名思义就是在解决问题的时候只考虑局部最优解的性质。与动态规划最大的不同就是贪心法没有“瞻前顾后”的过程，因此贪心算法求解效率高，代码和思想也更加简单。我们使用贪心算法求解时，需要先考虑问题是否满足贪心选择性质和最优子结构性质，必要时举适当反例判断贪心策略是否正确，确定这两条性质之后才能使用贪心算法。