算法设计与分析第四章作业

[计科2101袁正毅]

 

一.请说明作业三”程序存储问题“的贪心策略，并用反证法证明满足贪心选择性质，并给出时间复杂度分析

7-2 程序存储问题

设有n 个程序{1,2,…, n }要存放在长度为L的磁带上。程序i存放在磁带上的长度是 li，1≤i≤n。 程序存储问题要求确定这n 个程序在磁带上的一个存储方案， 使得能够在磁带上存储尽可能多的程序。 对于给定的n个程序存放在磁带上的长度，计算磁带上最多可以存储的程序数。

贪心策略：首先将所有每个程序的长度从小到大排序，然后定义sum等于0，将程序长度逐个相加，直到大于磁带长度时停止，定义cnt记录前面程序的个数并输出。

反证法证明: 设 利用贪心算法得出的最优解为 [n1, n2, n3, ... , nx] ，若不选n1，选m（因为n1 的长度已是最短的，故 m > n1），设存在更优解 [m, n2, n3, ... , nx, ny] （更优比最优解至少多一个程序 ）。因为更优解一定大于最优解，在更优解中第一个程序长度大于最优解第一个程序长度，还多了一个程序ny 都没超过磁带长度，所以最优解加上ny也一定不会超过 磁带长度，所以最优解应该为 [n1, n2, n3, ... , nx，ny]， 这与假设相悖，所以不存在更优解，所以此策略满足贪心选择性质。

时间复杂度：一个for循环完成数组的遍历与对比，时间复杂度为O（n）。

空间复杂度：算法只使用了普通变量sum记录放入的个数，空间复杂度为O（1）。

二、 我对贪心算法的理解

        贪心算法又称之为贪婪算法，在考虑问题时，总是做出在当前状况来说最好的算则，而不从整理来考虑。 从某种意义上说是局部最优解，贪心算法所得到的答案并不一定是整体最优解，所以在使用贪心算法一定要考虑清楚，是否能使用贪心算法。 选择的贪心策略必须具有无后效性，即当前选择的结果必须不能对之前的结果状态产生影响，而只与当前状态有关。