算法设计与分析第四章作业

软工2103梁瑞驹 2022-11-21 21:05:39

1.请说明作业三”程序存储问题“的贪心策略，并用反证法证明满足贪心选择性质，并给出时间复杂度分析

程序存储问题如下：

设有n 个程序 { 1, 2, …, n } 要存放在长度为L的磁带上。程序 i 存放在磁带上的长度是 li，1 ≤ i ≤ n。程序存储问题要求确定这n个程序在磁带上的一个存储方案，使得能够在磁带上存储尽可能多的程序。
对于给定的n个程序存放在磁带上的长度，计算磁带上最多可以存储的程序数。

输入格式：

第一行是2 个正整数，分别表示文件个数n和磁带的长度L。接下来的1行中，有n个正整数，表示程序存放在磁带上的长度。

输出格式:

输出最多可以存储的程序数。

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

6 50
2 3 13 8 80 20

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

5

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int l[100];
int n, c, temp = 0, num = 0;
int main() {
    cin >> n >> c;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> l[i];
    sort(l, l + n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (temp + l[i] <= c) {
            temp += l[i];
            num++;
        }
        else
            break;
    }
    cout << num;
    return 0;
}

贪心策略：

将长度序列从短到长排序，尽可能选择最短的。

证明：

给出一升序序列 { n1, n2, ..., nn } ，按照贪心算法，其最优解序列为 S1 = { n1, n2, ..., nk } ( k <= n) ，各元素和为sum1。
假设最优解序列不含一较小数 ni（ni <= nk），则必有一个（或以上）大于 nk 的数 nx 存在最优解之中，此时最优解序列为 S2 = { n1, n2, ..., nx } ( x > k && x != i ) ，则序列元素和为 sum2 > sum1，此时 ni 必能与 S2 中一较大数替换使得 sum2 变小，从而使其可能能容纳下更多的元素，所以替换后的最优解序列 |S2`| >= |S2| ，与最优解矛盾，假设不成立，即最优解序列一定是原序列的连续升序子序列，满足贪心选择性质。

时间复杂度：