算法设计与分析第五章作业

[软工2101许炜彬]

1. 用回溯法分析“最小重量机器设计问题”

​ 题目要求：

​ 设某一机器由n个部件组成，每一种部件都可以从m个不同的供应商处购得。设w**ij是从供应商j 处购得的部件i的重量，c**ij是相应的 价格。
​ 试设计一个算法，给出总价格不超过d的最小重量机器设计。

​ 输入格式:

​ 第一行有3 个正整数n ，m和d， 0<n<30, 0<m<30, 接下来的2n 行，每行m个数。前n行是c，后n行是w。

​ 输出格式:

​ 输出计算出的最小重量，以及每个部件的供应商

1.1 说明“最小重量机器设计问题”的解空间

​ 以n = 3，m = 3为例：

​ (1, 1, 1),(1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3),(1, 3, 1), (1, 3, 2), (1, 3, 3),

​ (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 2, 1),(2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (2, 3, 2), (2, 3, 3),

​ (3, 1, 1), (3, 1, 2), (3, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 2, 2), (3, 2, 3), (3, 3, 1), (3, 3, 2), (3, 3, 3)

1.2 说明“最小重量机器设计问题”的解空间树

每个节点有3个选择，共有4层，最终有27个叶子节点。

 

1.3 在遍历解空间树的过程中，每个结点的状态值是什么

​ 每个结点的状态值为当前分支已选择的部件的总重量和总价格。

2. 对回溯法的理解

​ 回溯法是按照深度优先策略，从根结点搜索解空间树，如果搜索到的当前结点不包含问题的解，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，继续按深度优先策略搜索。一定要回溯到根，且根节点所有子树都被搜索完才结束(如果只需要任一个解，那么只要搜索到问题的一个解就可以结束)。

回溯法基本步骤：

1. 针对所给问题，定义问题解空间

2. 确定易于搜索的解空间结构

3. 以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中使用剪枝函数避免无效搜索

   常用剪枝函数：

   1. 约束函数：在扩展结点处减去不满足约束的子树
   2. 限界函数：减去得不到最优解的子树

    

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