算法设计与分析第三章作业

[brisksea]

1. 请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

请按照如下格式书写动态规划方程：
（1）状态表示：

（2）状态方程：

（3）边界条件：

（4）时间、空间复杂度分析：

2. 结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

[计科2201黄榄晴]

（1）a[N] : 每堆石子的质量
sum[i][j] ：第i堆石子到第j堆石子的总质量
m[i][j] : 第i堆石子到第j堆石子的最小代价
2）sum[i][j] = sum[i][j-1] + a[j]
m[i][j] = min(m[i][k]+m[k+1][j]+sum[i][j]) i<=k<j
（3）i = j --> m[i][j] = 0
（4）时间复杂度：O(n^3)
空间复杂度：O(n^2)

[苦命媛]

（1）状态表示：

a[n]: 每一堆石子的质量

sum[i,j]: 第i堆石子到第j堆石子的总质量

Cost[i] [j]: 将第i堆石子到第j堆石子合并的最小代价。

（2）状态方程：

for(int k=i,k<j,k++)

Cost[i] [j]=min( Cost[i] [j], Cost[i][k]+Cost[k+1][j]+sum[i][j] )

（3）边界条件：

  当i=j时    Cost[i][j] = 0  

（4）时间、空间复杂度分析：

 时间复杂度：O（n^3）

 空间复杂度：O（n^2）

体会和思考:

动态规划法可以使用于求解问题的最优解上，适用于求解过程中会遇到公共的子问题求解，它将这些会重复使用的子问题解保存在一个矩阵中（备忘录），从而避免了不必要的重复计算，提高了运算效率。

[haha_lya]

（1）状态表示：
设dp[i][j]表示将第i堆石子到第j堆石子合并成一堆的最小代价。
（2）状态方程：
dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j])，其中i ≤ k < j，sum[i][j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量。
（3）边界条件：
当i = j时，dp[i][j] = 0，表示一堆石子无需合并。
（4）时间、空间复杂度分析：
时间复杂度为O(N^3)，空间复杂度为O(N^2)。
动态规划法是通过将复杂问题分解成子问题，并利用子问题的解来求解原问题。在动态规划中，关键是找到合适的状态表示和状态方程，通过合理地定义状态和状态转移方程，可以将问题转化为一系列简单的子问题，从而得到最优解。
在解决问题时，我通常会先仔细分析问题的特点和要求，然后根据问题的特点来确定合适的状态表示和状态方程。在编写代码时，我会注意优化空间复杂度，避免不必要的重复计算，以提高算法的效率。
总的来说，动态规划法是一种非常实用的解决问题的方法，可以帮助我们高效地解决各种复杂的问题。通过不断的练习和实践，我相信我可以不断提升自己在动态规划方面的能力。

[gd]

@gd 作业写了，忘记提交了

[gd]

https://blog.csdn.net/m0_74032940/article/details/134220727?spm=1001.2014.3001.5502