算法设计与分析第二章作业

[chiya_poi]

1.使用伪代码描述最大字段和的分治算法

主要思想：将完整的序列一分为二（下面称左段右段），分别求两段子序列的最大字段和来求解。最后结果会有三种情况：
（1）整个序列的最大子字段（s）与左段最大子字段（s1）相同
（2）整个序列的最大子字段(s)与右段最大子字段（s2）相同
（3）整个序列的最大子字段(s)恰好横跨左右段，即左右段的最大子字段是整个序列最大子字段的子字段(s=s1+s2)

伪代码如下：

def maxSum(a, left, right):
    sum = 0
    #结束递归的条件
    if left == right: 
        if left > 0:
            sum = left
        else
            sum = 0
    else:
        center = (left + right) / 2
        #求左、右两段的和
        leftSum = maxSum(a, left, center)
        rightSum = maxSum(a, center + 1, right)
        
        s1 = 0 #记录左段最大字段和
		l = 0
		for i = center; i >= left; i--:
			l += a[i]
			if l > s1:
				s1 = l;

        s2 = 0 #记录右段最大字段和
	   	r = 0
		for i = center; i >= left; i--:
			r += a[i]
			if r > s2:
				s2 = r;
        
        #对比三种情况，取最大的和
        sum = s1 + s2
        if s1 > sum:
            sum = s1
        if s2 > sum:
            sum = s2

    return sum

        

    

时间复杂度分析

算法将每个问题分解为2个原问题规模1/2的子问题，合并子问题的时间复杂度为O(n)

因此T(n) = 2 * T(n/2) + O(n)

由主定理可以得到T(n) = O(n*log n)

分治法的体会和思考

分治法的主要思想为：

       将一个大问题不停分割为k个子问题，如果子问题的规模仍然很大，就继续分割，直到子问题的规模易于求解为止；完成子问题的求解后，自底向上，将子问题合并为原问题。

分治法有以下几点特征：

       1.可以将原问题转化为若干个独立的子问题

       2.给个子问题的解最终可以合并为原问题的解

使用分治法时的解题步骤：

       1.分解原问题：将原问题分解为若干个相同类型的子问题

       2.求解子问题：利用递归或者迭代的方法，解决每个子问题，当子问题规模足够小时，可以直接得到答案

       3.合并子问题：将每个子问题的解合并

分治法的时间复杂度分析：

假设算法将每个问题分解为a个b/n规模的子问题，合并子问题的时间复杂度为O(n^d)，则

时间复杂度：T(n) = aT(n/b) + o(n^d)

利用主定理可以将T(n)化为：

           O(n^d)            , d > logb a

T(n) = O(n^d * log n) , d = logb a

           O(n ^ logb a)  , d < logb a

分治法的主要运用：

1.二分搜索

        基本思想：将n个元素分成个数大致相同的两半，取a[n/2]与x作比较。如果x=a[n/2]，则找到x，算法终止；如果x<a[n/2]，则只在数组的左边部分继续搜索x，反之只在右边部分继续搜索x。

      时间复杂度：O(log n)

2.快速排序

        基本思想：

                ①分解：以a[p]为基准元素，将a[p:r]划分为三段， a[p:q-1]、a[q]、a[q+1:r]，使得a[p:q-1]中的所有元素都小于a[q]，a[q+1:r]中的所有元素都大于a[q]，下标          q在划分过程中确定。

                ②递归求解：通过递归调用快速排序算法，分别对a[p:q-1]和a[q+1:r]进行排序。

                ③合并：由于算法直接对原序列就地进行，所以在a[p:q-1]和a[q+1:r]都排好序后就已经的到了最终结果。

         时间复杂度：O(n*log n)