算法设计与分析第三章作业

[软工2201陈芳琪]

1.请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

请按照如下格式书写动态规划方程：
（1）状态表示：

a[N] : 每堆石子的质量

sum[i][j] ：第i堆石子到第j堆石子的总质量

m[i][j] : 第i堆石子到第j堆石子的最小代价

（2）状态方程：

sum[i][j] = sum[i][j-1] + a[j]

m[i][j] = min(m[i][k]+m[k+1][j]+sum[i][j])  i<=k<j

（3）边界条件：

i = j  -->  m[i][j] = 0

（4）时间、空间复杂度分析：

时间复杂度：O(n^3)    因为有关于i、j、k的三重循环

空间复杂度：O(n^2)    填表i行j列，占用空间i*j

2.结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

（1.  动态规划法是将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题再结合这些子问题的解得到原问题的解。但动态规划法里的子问题和分治法里的子问题不同，动态规划法中的子问题并不是相互独立的，所以会存在重复计算子问题的情况。

（2.  使用动态规划算法的问题有两个特征：1.有最优子结构性质（子问题的最优解合成原问题的最优解）  2.有重复子问题性质

（3.  动态规划算法采用自底向上的填表法，该法要考虑三个问题：1.表的维数  2.填表的范围  3.按什么顺序填

       （另有自上而下的备忘录方法）

  (4.  使用动态规划算法时：1.找到最优子结构  2.写出状态表示和状态方程，以及边界条件   3.根据状态方程决定表的维数、范围、填表顺序。  4.填表，先注意边界条件