算法设计与分析第三章作业

[软工2202刘星宇]

（一）请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

请按照如下格式书写动态规划方程：
（1）状态表示：

a[n]:表示每堆石子的质量

sum[i,j]:表示第i堆到第j堆石子的总质量

dp[i][j]:表示第i堆到第j堆石子合并所需的最小代价

（2）状态方程：

for(k=i;k<j;k++)

dp[i][j]=min(dp[i][j],(dp[i][k]+dp[k+1][j])+sum[i][j])  //k代表两堆中间的分割点，通过遍历的方式找到当前最小代价

（3）边界条件：

dp[i][j]=0; i=j；

（4）时间、空间复杂度分析：

循环遍历i、j与ij之间的k，时间复杂度为O(n^3);空间复杂度为O(n^3)

（二）结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

动态规划法作为寻找最优解的算法，它将需要求解的问题分解为若干个子问题，通过递归等方式得到子问题的解，从而得到本问题的最优解

在动态规划法中常常使用填表法，根据一定的填表顺序，将数组填满，从而获得最终结果。动态规划方法是一个重要算法设计思想，可用于求解各种最优解问题，化解问题规模，提高算法效率。在动态规划法的学习当中，我学习到了更有效率的算法，增强了自己的效率意识，实现代码的同时也要不断改进代码，提高效率，减少时间浪费和空间浪费。