算法分析与设计第三章作业（软工2202石佩仪）

[peiiiiyiiii]

写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

请按照如下格式书写动态规划方程：
（1）状态表示：

设dp[i][j]表示将第i堆到第j堆石子合并为一堆的最小代价。

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（2）状态方程：

dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j]) + sum[i][j]，其中i <= k < j，sum[i][j]表示第i堆到第j堆石子的总质量。

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（3）边界条件：

当i == j 时，dp[i][j] = 0，因为一堆石子的代价为0。

当i < j 时，需要计算dp[i][j]的值。

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（4）时间、空间复杂度分析：

时间复杂度：计算dp[i][j]时需要枚举k，共有O(N^2)个状态需要计算，对于每个状态，需要O(N)的时间来计算sum[i][j]，因此总时间复杂度为O(N^3)。

空间复杂度：需要使用一个二维数组dp[N][N]来存储中间状态，因此空间复杂度为O(N^2)。

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结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

动态规划法的关键步骤分为：

1.定义数组元素的含义：我们常用到一个数组来保存历史数组，设置dp[i]/dp[i][j]的含义

2.找出数组元素之间的关系式：无论是由后往前推出答案或者由前往后，我们都需要清晰知道他们之间的递推关系，类似于高中的归纳法。在学习过程中老师也叫我们把递归方程写在代码最前面，这也是为了养成我们先深度思考递归方程再做题的习惯

3.找初始值：一般是问题最简单的情况下，可以直接得出答案，继而得出后面的答案