算法设计与分析第三章作业

[计科2201黄子轩]

1. 请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

请按照如下格式书写动态规划方程：
（1）状态表示：

二维数组dp[i][j]表示合并第i堆到第j堆石子的最小合并代价

sum[i][j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

（2）状态方程：

dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j])

（3）边界条件：

当 i == j 时，dp[i][j] = 0，即合并同一堆石子，代价为0

（4）时间、空间复杂度分析：

时间复杂度: O(n^3)

空间复杂度: O(n^2)，因为是使用二维数组dp存储子问题的最优解

1. 结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

我认为动态规划思想的主要问题为找到对应题目中的以下关键问题：

1. 子问题的最优解：动态规划法将原问题分解为子问题，并使用子问题的最优解来构建原问题的最优解。核心！

2. 重叠子问题：在动态规划中，子问题可能会被重复计算。为了避免重复计算，可以使用记忆化搜索或者自底向上的方式，将子问题的最优解保存起来（dp二维数组），在需要时直接使用。

3. 状态转移方程：描述子问题之间的关系。状态转移方程通常通过分析原问题和子问题之间的关系得到。

4. 边界条件：在定义状态转移方程时，就需要明确边界条件。

5. 时间和空间复杂度：时间复杂度取决于子问题的个数以及每个子问题的计算量；空间复杂度取决于保存子问题的最优解的数据结构。