算法设计与分析第三章作业

[春边_]

请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

请按照如下格式书写动态规划方程：
（1）状态表示：

dp[i][j]表示第i堆石头到第j堆石头合并的最小代价

1. 状态方程：

dp[i][j] = min { dp[i][k] + sum[i,k] + dp[k+1][j] + sum[k+1,j]   

i <= k < j

1. 边界条件：

只有一堆石子的时候，最小合并代价为零

dp[i][i] = 0

1. 时间、空间复杂度分析：

时间复杂度O（n*n*n）

空间复杂度O（n*n）

结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考：

1.动态规划的问题最主要的特征是最优子结构和重叠子问题。

最优子结构：一个问题的最优解包含了其子问题的最优解

重叠子问题：有些子问题需要进行多次计算

2.基于对题目的分析写出状态表示，状态转移方程，注意要弄清楚变量的取值范围及边界条件

3.为解决重叠子问题，可以采用备忘录的方法记录递归调用过程中求解出来的子问题的解；也可以采用填表法来求解，注意表的维数，填表顺序，边界条件等