第3章 动态规划小结

[花生什么好树]

1.请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整第3章 数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

请按照如下格式书写动态规划方程：
（1）状态表示：s[i]表示第i对石子的重量；dp[i][j]表示合并第i堆到第j堆石子的最小代价；

（2）状态方程：dp[i][j] = min {dp[i][j-2] + s[j-1] + s[j], dp[i+2] + s[i] + s[i+1]},  j-i > 1;

                                      = s[i] + s[j], j-i = 1;

（3）边界条件：j - i = 1;

（4）时间、空间复杂度分析：O(n^2)

2.结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

在本章节动态规划的学习中，我们首先将其与上一章节学习的分治法进行了比较，两者的基本思想相类似，都是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，再结合这些子问题的解得到原问题的解。不同之处在于，动态规划法通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，而分治法则是将问题划分为互不相交的子问题，然后将子问题的解组合起来得到原问题的解。动态规划法通常需要用一个表格来存储子问题的解，以便在求解更大的子问题时能够重复利用已经求解过的子问题的解，从而避免重复计算。而分治法则是将问题划分为互不相交的子问题，然后将子问题的解组合起来得到原问题的解。（动态规划算法的基本要素：1）最优子结构性质；2）重叠子问题性质）

 

在进行习题练习的过程中，我们大致按照如下步骤（4个）：一、问题结构分析（找出最优解的性质，并刻画其结构特征）：1.给出问题表示；2.明确原始问题；二、递推关系建立：分析最优子结构，递归地定义最优值；三、自底向上计算最优值：1.初始化（依据边界条件）；2.递推公式（依据递推公式完成填表过程）；四、最优方案追踪（根据计算按最有值时得到的信息构造最优解）：记录决策过程（完成备忘录表格以协助后面的计算）。