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分享设有 N堆石子排成一排,其编号为 1,2,3,…,N。
每堆石子有一定的质量,可以用一个整第3章 数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量,sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆,合并的代价为这两堆石子的质量之和,合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻,合并时由于选择的顺序不同,合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2, 我们可以先合并 1、2 堆,代价为 4,得到 4 5 2, 又合并 1,2 堆,代价为 9,得到 9 2 ,再合并得到 11,总代价为 4+9+11=24;
如果第二步是先合并 2,3 堆,则代价为 7,得到 4 7,最后一次合并代价为 11,总代价为 4+7+11=22。
问题是:找出一种合理的方法,使总的代价最小,输出最小代价。
请按照如下格式书写动态规划方程:
(1)状态表示:s[i]表示第i对石子的重量;dp[i][j]表示合并第i堆到第j堆石子的最小代价;
(2)状态方程:dp[i][j] = min {dp[i][j-2] + s[j-1] + s[j], dp[i+2] + s[i] + s[i+1]}, j-i > 1;
= s[i] + s[j], j-i = 1;
(3)边界条件:j - i = 1;
(4)时间、空间复杂度分析:O(n^2)
在本章节动态规划的学习中,我们首先将其与上一章节学习的分治法进行了比较,两者的基本思想相类似,都是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,再结合这些子问题的解得到原问题的解。不同之处在于,动态规划法通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题,而分治法则是将问题划分为互不相交的子问题,然后将子问题的解组合起来得到原问题的解。动态规划法通常需要用一个表格来存储子问题的解,以便在求解更大的子问题时能够重复利用已经求解过的子问题的解,从而避免重复计算。而分治法则是将问题划分为互不相交的子问题,然后将子问题的解组合起来得到原问题的解。(动态规划算法的基本要素:1)最优子结构性质;2)重叠子问题性质)
在进行习题练习的过程中,我们大致按照如下步骤(4个):一、问题结构分析(找出最优解的性质,并刻画其结构特征):1.给出问题表示;2.明确原始问题;二、递推关系建立:分析最优子结构,递归地定义最优值;三、自底向上计算最优值:1.初始化(依据边界条件);2.递推公式(依据递推公式完成填表过程);四、最优方案追踪(根据计算按最有值时得到的信息构造最优解):记录决策过程(完成备忘录表格以协助后面的计算)。