算法设计与分析第三章作业

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一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

请按照如下格式书写动态规划方程：
（1）状态表示：

F[i][j] = min(f[i][k] + f[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1])

（2）状态方程：

F[i][j] =  

（3）边界条件：

 i==j时，最小代价为0

（4）时间、空间复杂度分析：

①时间复杂度：o()

②空间复杂度：o()

二、结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

①动态规划题搞清楚几个重要的点，做题就比较容易了。分别是：状态表示、状态方程、边界条件

②动态规划算法通常可以按以下几个步骤进行：

 找出最优解的性质，并刻画其结构特征；

 递归地定义最优值；

 自底向上方式计算出各子结构的最优值；

 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

 步骤1~3是动态规划算法的基本步骤。若需要最优解，则必须执行第4步，为此还需要在第3步中记录构造最优解所必需的信息。

③与分治法相比，动态规划法的相同之处是也将原问题分解为若干子问题，再递归求解；不同之处是所分解的子问题彼此并不独立，而是互有重叠。  

④动态规划法的基本思想是造表记录已解的子问题，再次遇到时仅查表即可，避免了重复计算，提高效率。  

⑤通常用于求解具有最优性质的问题，而且其子问题也具有最优性质(最优子结构性质)。  

⑥实现方法通常为自底向上的递归形式，但也可以采用自上而下的形式(备忘录方法)。