算法设计与分析第二章

[SueCake]

题目如下：

 

给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整数均为负数时，定义子段和为0。

要求算法的时间复杂度为O(n)。

输入格式:

输入有两行：

第一行是n值（1<=n<=10000)；

第二行是n个整数。

输出格式:

输出最大子段和。

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

20

 伪代码分析：

 

1. 划分子问题。将待解决数组从中间位置分成两个部分。这样一来，原问题最大字段和出现在以下三种可能性里
   1. 左部分子问题求出的最大字段和，即最大字段和出现在a[1, 2, ..., n/2]中
   2. 右半部分子问题求出的最大字段和，即最大字段和出现在a[n/2+1, n/2+2, ..., n]中
   3. 跨越了中间元素，到底子问题求出的最大字段和，即最大字段和出现在a[k, k+1, ... , j]中  1 <= k <= j <= n
2. 求解子问题。
   1. 递归地对左右两个部分进行求解，得到左半部分的最大字段和（记为left_max）和右半部分的最大字段和（记为right_max）。求解方法如下：

      1. int max_subarray(int left, int right){
             mid = (left + right) /2
         
             if (left == right) return nums[left]
             
             left_max = max_subarray(left, mid)
             right_max = max_subarray(mid + 1, right)
         }

          

      2. 求解跨越中点的最大字段和。从中点开始，向左扩展找到最大字段和（记为left_sum），再从中点开始，向右扩展找到最大字段和（记为right_sum）。最后将left_sum和right_sum相加得到跨越中点的最大字段和（记为mid_max）。求解方法如下：

         1. int max_cross_subarray(int left, int right, int mid) {
                int leftSum = INT_MIN;
                int sum = 0;
                for (int i = mid; i >= left; --i) {
                    sum += nums[i];
                    leftSum = max(leftSum, sum);
                }
                int rightSum = INT_MIN;
                sum = 0;
                for (int i = mid + 1; i <= right; ++i) {
                    sum += nums[i];
                    rightSum = max(rightSum, sum);
                }
                return leftSum + rightSum;
            }

             

3. 合并。比较三个结果left_max、right_max和mid_max，取其中的最大值作为最终的最大字段和。

时间复杂度分析：

1. 划分子问题：将数组从中间分开，O（1）

2. 求解子问题：原问题分成了两个规模为 n/2的字问题，2*T（n/2)

3. 合并：寻找出O（1）

T(n) = O(1) + 2*T(n/2) + O(1)

递归求解的算得T(n) = O(nlongn)

体会和思考：

1. 问题的划分：对于一个复杂的问题，要善于将其划分为更小的子问题。通过将问题分解成多个独立的子问题，可以更容易理解和解决每个子问题。

2. 子问题的相似性：在划分问题时，要注意子问题之间的相似性。如果子问题具有相同的结构或性质，可以使用相同的算法或方法来解决。

3. 合并子问题的解：在解决完子问题后，需要将子问题的解合并起来得到原问题的解。这一步通常需要设计合适的合并策略，确保合并过程的正确性和效率。

4. 递归终止条件：在使用分治法时，必须定义递归的终止条件，即最小规模的问题如何直接求解。终止条件的正确性和有效性对整个算法的正确性和效率至关重要。