算法设计与分析第三章作业

[软工2202李康立]

问题描述

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量。现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

解题思路

（1）状态表示：

    dp[i][j]表示从第i堆到第j堆合并石子的最小代价, sum[i[[j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

（2）状态方程：

    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j])

（3）边界条件：

    当i == j时，d[i][j] = 0

（4）时间、空间复杂度分析：

    时间复杂度：O(n^3);  空间复杂度：O（n^2)

 

结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

    动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题，适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。通过将原问题分解为一系列重叠的子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解，动态规划可以显著提高问题求解的效率。