算法设计与分析第三章

[追猫人会魔法]

请写出以下题目的动态规划方程：
设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

请按照如下格式书写动态规划方程：
（1）状态表示：

（2）状态方程：

（3）边界条件：

（4）时间、空间复杂度分析：

结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

状态表示：
dp[i][j]表示最小总代价
sum[i][j]表示从石堆i到石堆j的总质量
状态方程：
dp[i][j] = min ( dp[i][j] , dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum [i][j] )    if  i <= k < j
边界条件：
d[i][j] = 0 if(i==j)
时间空间复杂度分析：
时间复杂度O(n^3)
空间复杂度O(n^2)

动态规划法像是把一个要对每一种情况都拿来比较的问题进行暴力拆分，拆出每一个比较的子问题，再将这些子问题进行比较集合，回到全局上面，得到最优解。
同时他还转移了顺序避免了子问题的重复计算，使时间复杂度更加优良。