高等数学习题

xiaoen_1123 2023-11-19 13:27:42

第一章

对于函数和极限定义与性质

求极限的方法与实际求有理函数的注意事项

一些特殊函数图像的极限表示以及两个重要极限

利用等价无穷小代换的思想（重要方法）

无穷小阶数的比较以及间断点和连续性的关系

闭区间上的连续函数具有一些重要的性质。这里，闭区间通常指实数轴上的一个有限区间，例如[a, b]，其中a和b是实数且a <=b。

1. 有界性（Boundedness）：
连续函数在闭区间上是有界的，即存在实数M和m，使得对于区间内的所有x，都有m<=f(x) <= M。这意味着函数在闭区间上既不会趋向无穷大也不会趋向无穷小。

2. 最大值和最小值（Extreme Value Theorem）：
如果函数\(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上是连续的，那么它在这个区间上存在最大值和最小值。即存在c, d，使得对于所有x在[a, b]上，有f(c) >=f(x)和f(d) <= f(x)。

3. 一致连续性（Uniform Continuity）：
连续函数在闭区间上通常是一致连续的。这意味着对于给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得对于任意在闭区间上距离小于δ的两个点x和y，都有|f(x) - f(y)| < ε。与在开区间上的局部连续性相比，一致连续性强调对整个区间的一致性。

4. 介值定理（Intermediate Value Theorem）：
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上是连续的，并且u是介于f(a)和f(b)之间的任意值，那么存在某个在(a, b)内，使得f(c) = u。简而言之，连续函数将闭区间上的任意值映射到某个介于最小和最大函数值之间的值。

这些性质构成了连续函数在闭区间上的一些重要特征。它们是微积分和实分析等数学分支中许多定理的基础。

例题部分

第二章

1. 导数的定义：

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

2.导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
高阶求导
3.高阶导数的求法
1、直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。
一般用来寻找解题方法。
2、高阶导数的运算法则：（牛顿-莱布尼茨公式）
3、间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换等方法。
注意：代换后函数要便于求，尽量靠拢已知公式求出阶导数。
口诀
为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：
常为零，幂降次
对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna）
指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）
正变余，余变正
切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方）
割乘切，反分式

4. 对微分的定义：

微分是一个变量在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。若函数y=f(x)在点x处有导数f'(x)存在，则y因x的变化量△x所引起的改变量是△y=f(x+△x)一f(x)=f'(x)·△x+o(△x)，式中o(△x)随△x趋于0。因此△y的线性形式的主要部分dy=f'(x)△x是y的微分。 [6] 可见，微分作为函数的一种运算，是与求导（函）数的运算一致的。
微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

例题部分

第三章

1.中值定理

中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。中值定理是由众多定理共同构建的，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。

2.洛必达法则

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法

3.函数的单调性

函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

4.曲线的凹凸性

凹曲和凸曲：
- 如果曲线在给定区间上的二阶导数始终大于零，那么这个区间上的曲线是凹曲的。这意味着曲线向上弯曲。
- 如果曲线在给定区间上的二阶导数始终小于零，那么这个区间上的曲线是凸曲的。这意味着曲线向下弯曲。
凹凸点：
- 如果曲线上的某一点，其二阶导数存在且为正，那么该点是曲线的凹点。
- 如果曲线上的某一点，其二阶导数存在且为负，那么该点是曲线的凸点。
拐点：
- 拐点是指曲线由凹变为凸或由凸变为凹的点。在拐点处，二阶导数会发生变号。
凹凸性和一阶导数：
- 如果在某一点处曲线的一阶导数逐渐增加，那么该点附近的曲线可能是凸的。反之，如果一阶导数逐渐减小，那么该点附近的曲线可能是凹的。