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高等代数之行列式章节笔记
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1.行列式的定义
1.1基本概念
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
例题：
1.2排列及其逆序数
1.排列：
2.逆序：
3.逆序数：
4.奇偶排列
5.对换：
1.3n阶行列式(注意：各项符号由列标排列与行标排列的逆序数和决定即奇负偶正)
2.行列式的性质与计算
2.1行列式的性质
有如下5条及推论：
2.2行列式的计算
上述性质2,3,5介绍了行列式关于行和关于列的三种运算，即ri←→rj,kri,ri＋krj,以及ci←→cj,kci,ci+kcj利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利用运算ri＋krj（或ci+kcj)，可以把行列式中许多元素化为零，进而把行列式化为三角形行列式，最后得到行列式的值．
下面给出一个例题：
解法如下：
接着给出几种特殊行列式计算：
1.爪形行列式：
2.范德蒙德行列式：
补充：加边法
例题如下：
3.行列式按一行（列）展开
行列式按一行（列）展开可以将高阶行列式转化为低阶行列式，进而简便计算，为此先引进余子式与代数余子式
3.1余子式与代数余子式
定义：在n阶行列式中，把元素aₒₑi所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aₒₑi的余子式，记作Mₒₑ，将余子式Mₒₑ再乘以-1的o+e次幂记为Aₒₑ，Aₒₑ叫做元素aₒₑ的代数余子式。具体如下：
3.2行列式按一行（列）展开定理
定理：
例如：
4.拉普拉斯定理
定理：在n阶行列式D=|aij| 中，任意取定k行（列），1≤k≤n-1，由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。
例
5.克拉默法则
定理：n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵的行列式不为零，其矩阵可逆
例题
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此外，还有一些可能的习题号标记，如“1.2”，“1.3”，“1.4”等，这些表明文档中包含了按照章节和习题顺序排列的题目解答，这有助于学生对高等代数的教材内容进行复习和巩固。
