离散化学习笔记&例题题解

[202321332009洪韩毅]

 离散化

1、本质

离散化的本质，是映射，将间隔很大的点，映射到相邻的数组元素中，且不改变原数组元素的大小。减少了对空间的需求，也减少计算量。

例如数组a[]={1,1000000000,200000}，对应的离散后的数组就是b[]={1,3,2}，将实际大小，转化为在新数组的下标相对大小。

2、方法

总得来说离散化分为三步：

1.排序

2.去重

3.离散

第一步不用多说，一个sort即可。

第二步在c++中可以利用自带的unique函数，可以将所有重复元素放入数组末尾，返回去重后的尾地址。

第三步有两个方法：第一个用二分查找原数组中元素在新数组的对应下标，时间复杂度O(logn),还有一种就是STL大法了，利用map的映射，可以将时间复杂度降为O(1)。

例题：洛谷P1955

https://www.luogu.com.cn/problem/P1955

思路：

首先这题可以考虑到使用并查集，我们先处理e为1的情况，也就是先把所有相等的元素放入一个同一个集合中，接着将e==0看作查询，也就是判断需查询的两个元素是否相等（也就是是否位于同一个集合中），若相等，就矛盾了，输出"NO"，反之，则满足题意。

以下是ac代码（附带详细注释）

#include<bits/stdc++.h>
#include<unordered_map>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define lop(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);i++)
#define dwn(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define el '\n' 
#define int long long//这题肯定是要开LL的，当时偷懒了写了这句，读者需注意
using LL = long long;
typedef pair<LL,LL> PII;
const int N=2e6+10;//每次插入都是2个下标，所以要开2*n
int n;
int f[N];//并查集
int find(int x)//并查集找祖先板子
{
    return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);
}
void solve()
{
    vector<PII>add,query;//前者是e==1，也就是插入，第二个是e==0，也就是查询
    vector<int>all;//所有出现过的下标都存进去
    cin>>n;
    rep(i,1,n)
    {
        int x,y,e;
        cin>>x>>y>>e;
        if(e==1)add.push_back({x,y});
        else query.push_back({x,y});
        all.push_back(x);
        all.push_back(y);
    }
    //离散化
    sort(all.begin(),all.end());//第一步，排序
    all.erase(unique(all.begin(),all.end()),all.end());//第二步去重
    unordered_map<int,int>get;//映射，由于我们只需要映射关系，不需要排序，所以用unordered_map，比map快
    rep(i,1,all.size())
        get[all[i-1]]=i;//这就是离散的过程了，把原大小，转化为从1开始的下标
    //并查集
    rep(i,1,N)f[i]=i;//并查集的初始化
    for(auto i:add)
    {
        int idx1=get[i.first],idx2=get[i.second];
        f[find(idx1)]=find(idx2);//并查集的并集操作
    }
    int flag=1;
    for(auto i:query)
    {
        if(find(get[i.first])==find(get[i.second]))//如思路所说
            {
                flag=0;
                break;
            }
    }
    //依题意输出
    if(flag)cout<<"YES"<<el;
    else cout<<"NO"<<el;
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin>>t;
    while(t--)
      solve();
    return 0;
}