算法设计与分析第五章作业

[软工2201杨涵宇]

1. 请用回溯法的方法分析“最小重量机器设计问题”
1.1 说明“最小重量机器设计问题"的解空间
有n个部件，每个部件有m个供应商可选。那么解空间的大小为m^n，即每个部件有m种选择，总共n个部件，所以总的可能性为m^n。

1.2 说明 “最小重量机器设计问题"的解空间树
解空间树的每一个节点代表一个部件的选择，如根节点代表第一个部件选择。解空间树的深度等于部件的数量，每个节点的子节点的数量等于供应商的数量。

在解空间树中，每条从根节点到叶子节点的路径代表一个机器设计方案，路径上经过的节点表示每个部件的供应商选择。

1.3 在遍历解空间树的过程中，每个结点的状态值是什么
当前解的价格cc

当前解的重量cw

w[t][i]代表第t层树的一个部件选择了i的供应商的重量

c[t][i]代表第t层树的一个部件选择了i的供应商的价格

1.4 如何利用限界函数进行剪枝
通过条件判断语句if(cw+w[t][i]<MinW&&cc+c[t][i]<=d)剪枝

即两个限制条件 

1、当前解的重量加上添加部件的重量要小于当前最优的总重量

2、当前解的价格加上添加部件的价格一定要小于等于总价格d

代码如下
 

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,d;
int MinW=INF;
int cw,cc;
int w[100][100];
int c[100][100];
int bests[100];
int s[100];
//t为零件，i为商家
void backtrack(int t)
{
    if(t>n)
    {    
        MinW=cw;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            bests[i]=s[i];
        }
    }
    else
    {
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            s[t]=i;
            if(cw+w[t][i]<MinW&&cc+c[t][i]<=d)
            {
                cw+=w[t][i];
                cc+=c[t][i];
                backtrack(t+1);
                cw-=w[t][i];
                cc-=c[t][i];
            }
        }
    }
}
int main()
{
	cin>>n>>m>>d;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            cin>>c[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            cin>>w[i][j];
        }
    }
    backtrack(1);
    cout<<MinW<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<bests[i]<<" ";
    }
	return 0;
}

2. 你对回溯算法的理解
一种穷举的方法，通过试探和回溯来遍历解空间，找到满足问题约束的解。时间复杂度通常很高，需要通过剪枝和限界函数约束。

一般解题步骤
（1）定义问题解空间（画出解空间树）至少包含问题一个最优解；

（2）确定易于搜索的解空间结构，用回溯法能方便搜索整个解空间；

（3）用深度优先搜索（DFS）搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索