算法设计与分析第三章作业

[软工2201杨涵宇]

1.请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

请按照如下格式书写动态规划方程：
（1）状态表示：dp[i][j]表示合并第i堆石子到第j堆石子的最小代价

（2）状态方程：dp[i][j]=min(dp[i+1][j]+sum[i][j],dp[i][j-1]+sum[i][j])

（3）边界条件：

当i=j=1时，无需合并，此时dp[i][j]=0;

当i=j-1时，只有两堆石子,dp[i][j]=sum[i][j];

（4）时间、空间复杂度分析：

时间复杂度：O(n²) 双重循环

空间复杂度：O(n²) 用二维数组存储dp[i][j]

2.结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

1）首先要确定状态表示，定义好变量，写好注释；

2）动态规划最重要的是状态方程，所以要清楚前后状态的联系，通过前一个状态推导出当前状态；

3）最后注意边界条件，确定状态的初始值和边界值，从而推进状态的计算。