算法第三章动态规划作业

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1.请写出作业“算法第三章3”中题目“7-4最低通行费”的动态规划方程
请按照如下格式书写动态规划方程：
(1)状态表示：用a[i][j]这个二维数组来表示从第i行第j列位置出来的最低通行费
(2)状态方程：①i==1：a[i][j]=a[i][j]+a[i][j-1]
             ②j==1：a[i][j]=a[i][j]+a[i-1][j]
             ③a[i][j]=a[i][j]+min(a[i][j-1],a[i-1][j]
(3)边界条件：①i==1：表示从第一行走，从左往右走，当前位置的通行费等于它左边位置              的通行费加上当前位置的通行费，即a[i][j]=a[i][j]+a[i][j-1]
             ②j==1：表示从第一列走，从上往下走,当前位置的通行费等于它上方位置的通行费加上当前位置的通行费，即a[i][j]=a[i][j]+a[i-1][j]
             ③其它情况下，a[i][j]=a[i][j]+min(a[i][j-1],a[i-1][j])
(4)时间、空间复杂度分析：
时间复杂度为O(n^2)
空间复杂度也为O(n^2)
2.结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考
动态规划法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，再结合这些子问题的解得到原问题的解；不同之处是分解所得到的子问题并不相互独立，而是互有重叠。
动态规划算法的两个基本要素是：（1）最优子结构性质 （2）重叠子问题性质
动态规划基本步骤：（1）找出最优解性质，并刻画其结构特征 （2）递归地定义最优值  （3）计算出最优值：方法①自底向上的求解方式——动态规划算法  方法②自顶向下的求解方式——备忘录算法  （4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解
矩阵连乘计算次序问题可以用动态规划法求解，穷举搜索法对此问题不是有效的算法，矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解，这种性质就是最优子结构性质，该问题也具有重叠子问题性质。最长公共子序列问题和0-1背包问题也可以动态规划法求解。
以下还有一些我对动态规划法的体会和思考：动态规划法具有高效性：动态规划通过保存子问题的解，避免了重复计算，大大提高了算法的效率。对于一些复杂问题，传统方法可能会陷入指数级的计算复杂度，而动态规划能够将问题的求解时间降低到多项式级别。它还具有优化性：它通常能够找到问题的最优解。通过分析问题的最优子结构和重叠子问题性质，动态规划可以逐步构建出全局最优解，为实际问题中的决策提供最佳方案。我觉得运用动态规划法有一定的难度，对我来说问题分析难度很大，还有状态定义和转移方程，找到合适的状态定义和状态转移方程是动态规划的关键步骤，不同的问题可能需要不同的状态表示和转移方式，对我来说写出状态方程也有一定的难度。
我觉得动态规划法是一种挺强大的算法设计技术，虽然在应用过程中存在一些挑战，但通过深入理解问题性质、巧妙地定义状态和转移方程，并合理地进行空间和时间复杂度的权衡，应该能够充分发挥动态规划的优势，解决各种复杂的实际问题。