算法设计与分析第三章作业

[Y2113e]

 题目《最低通行费》   动态规划方程

（1）状态表示：

• f[i][j]表示从左上角走到坐标(i,j)位置的最小路径和。

（2）状态方程：

f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + a[i][j]
走到当前位置的最小路径和 = 从上方位置或从左方位置过来的较小路径 + 当前位置值

（3）边界条件：

f[i][0] = 0x3fffffff；f[0][j] = 0x3fffffff
不存在从第 0 行到达任意列和第0 列到达任意行的有效路径，所以将其初始化为一个极大值来表示这种无效状态。

f[1][1] = a[1][1];
起点位置的最小路径和就是该位置的值。

（4）时间、空间复杂度分析

• 时间复杂度：代码中有三层循环，分别遍历矩阵的行和列，所以时间复杂度为O(n^2)。
• 空间复杂度：使用了两个二维数组a和f来存储矩阵的值和状态，空间复杂度也是O(n^2)。

 

对动态规划法的体会和思考

• 动态规划避免了重复计算，通过保存子问题的解，大大提高了计算效率。在这个问题中，利用数组f存储了到达每个位置的最小路径和，避免了对相同位置的多次计算。
• 对于规模较大的问题，动态规划的优势更加明显。如果使用暴力搜索等方法，时间复杂度可能会呈指数增长，而动态规划可以将时间复杂度控制在多项式级别。
• 状态方程则给出了子问题之间的关系，通过这种关系可以逐步推导出最终问题的解。这种清晰的思路有助于我们理解问题的本质和解决方法。