第三章--动态规划--最低通行费

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一、动态规划方程

1、状态表示：

  令 dp[i][j] 表示从起点 (1, 1) 到达 (i, j) 的最低路费

2、状态方程：

  dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+A[i][j]

其中，A[i][j]代表该点的路费

3、边界条件 ：

首先，初始化起点 dp[1][1]=A[1][1] 

第一列（只能从上方到达）： dp[i][1]=dp[i−1][1]+A[i][1]

第一行（只能从左方到达）： dp[1][j]=dp[1][j−1]+A[1][j]

4、空间、时间复杂度分析：

空间为O(n^2)，因为用到一个大小为N*N的二维dp数组

时间为O(n*n)，因为要遍历一个N*N的dp数组，且每一步的时间复杂度为O(1)

二、动态规划的思考与体会

动态规划是主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。其基本思想是将一个复杂的问题分解成较小的子问题，通过记录子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。

1、状态转移方程描述了如何从已知的状态推导出未知状态。通过构造递推关系，可以有效地计算出最终答案。在设计状态转移方程时，需考虑所有可能的选择或路径，以确保没有遗漏。自下而上解决问题。

2、边界条件的初始化是动态规划中的起始点，通常是简单的子问题。清楚边界条件的设置，自下而上去构造dp数组。