算法设计与分析第四章作业

计科2301卢丽芳 2024-11-24 16:50:40

一、请用反证法证明“删数问题”的算法满足贪心选择性质（即设最优解不包含贪心选择，则可以通过转换找出一个更小的数，推出矛盾）

1、删数问题：

给定n位正整数a，去掉其中任意k≤n 个数字后，剩下的数字按原次序排列组成一个新的正整数。对于给定的n位正整数a和正整数

2、贪心策略：

（1）从左到右依次遍历数字。
（2）如果一个数字大于其右侧的数字，则右侧数字均向左一位（即删除该数字）。若遍历完数字后还未删完k个数字，则从后往前依次删除k个数字。
（3）重复步骤2，直到删除k个数字。

string str;
int k;
void deleteNum()
{   int i=0;
    int len = str.length();
	while(k)
	{
		while(str[i]<=str[i+1] && i<len-1) i++;     
		if (i < len - 1) { // 确保不会越界
            for (int j = i; j < len - 1; j++) {
                str[j] = str[j + 1];
            }
        }
		 len--;k--;i--; 
	}
	int index=0;
	for(index=0;index<len;index++)
	{
		if(str[index]!='0') break;
	}
	if(index>=len) cout<<"0"<<endl;
	else{
		for(int i=index;i<len;i++)
		{
			cout<<str[i];
		}
	}
}

3. 反证法证明：

反证法假设：假设在给定的数字和需要删除的个数下，存在一个最优解 S，它不包含贪心策略的选择。

分析贪心策略的选择：根据贪心策略，我们总是从左到右扫描数字，选择第一个满足 x>y（其中 y 是 x右边的数字）进行删除，因为这会最大程度减少数值的大小，从而使剩下的数字更小。因此，删除 x可以保证在当前位置的局部最优性，从而为后续的数字组合提供更好的基础。

假设的最优解 S 不包含贪心选择：假设 S 选择保留了 x，而删除了其他数字。我们用 S’ 表示通过贪心策略得到的解。由于 S 和 S’ 的不同点在于 S 选择保留了 x，而 S’ 选择删除了 x，并且 x>y，那么 S 中的保留操作会导致后续的数字整体排列不如 S’ 小。

转换最优解 S 的结果：如果我们在 S 中改为删除 x，则可以得到一个新的解 S’‘。由于 S’’ 采用了贪心策略，其后续的数字排列与 S’ 一致或更小。因此，S’’ 会比 S 小或相等，但绝不会更大。

矛盾的形成：由于 S 被假设为最优解，但我们通过简单地将其转换为 S’’ 后得到一个更小或相等的数，这与 S 是最优解的假设矛盾。因此，假设不成立。

得出结论：最优解包含贪心策略。

举例说明：

假设我们有数字“178543”，需要删除k=2个数字。

贪心算法：贪心算法会删除'8'，然后删除'7'，得到“1543”。
假设的最优解（矛盾）：

假设 S 选择不删除 8。这样的话，删除 2 个数字后，剩下的最小可能数字是 1843或更大。显然，这些数字都大于 1543。
假设 S 选择不删除 7。保留 7 后，剩下的最小数字可能是 1743或更大，显然也比 1543 大。
形成矛盾：

所有试图通过保留贪心策略中删除的数字（如 8、7）所构造的结果，都无法得到比 1543 更小的数字。这与假设 S 是最优解矛盾。因此，我们可以得出结论：假设不成立。