算法设计与分析第四章作业

[Yun839I]

算法设计与分析第四章作业

1. 请用反证法证明“删数问题”的算法满足贪心选择性质（即设最优解不包含贪心选择，则可以通过转换找出一个更小的数，推出矛盾）

反证法证明“删数问题”的算法满足贪心选择性质（即设最优解不包含贪心选择，则可以通过转换找出一个更小的数，推出矛盾）

• 假设存在一个最优解 O不包含贪心选择。

• 我们的目标是通过这个假设推导出一个矛盾，从而证明贪心选择性质成立。

• 在“删数问题”中，贪心选择通常指的是每次删除当前能够删除的最大数字，以期最终得到最小的剩余数。

• 假设我们有一个序列 S={a1,a2,...,an}S={a1,a2,...,an}，其中 ai是第 i个数字。

• 根据贪心策略，我们应该先删除最大的数字。如果最优解 O不包含这种选择，那么它必然选择了某个非最大数字进行删除。

• 假设最优解 O首先删除了数字 x，而根据贪心策略应该删除的是数字 y（且 y>x）。

• 删除 x后，剩下的序列为 S′。

• 现在我们考虑删除 y而不是 x，得到的新序列为 S′′。

• 因为 y>x，删除更大的数字 y后，剩余的数字总和会小于或等于删除 x后的剩余数字总和。

• 如果删除 y后得到的序列 S′′ 的总和比删除 x后得到的序列 S′ 的总和更小，这就说明我们找到了一个比最优解 O更优的解。

• 这与 O是最优解的假设相矛盾。

• 因此，假设最优解不包含贪心选择是错误的。

• 所以，最优解必须包含贪心选择，即每次删除当前能够删除的最大数字。

由此，我们证明了“删数问题”的算法满足贪心选择性质。

 

2.结合本章的学习，总结你对贪心法的体会和思考

贪心法的核心在于每一步都做出当前看似最优的选择，期望这些局部最优选择能导致全局最优解,关键在于证明每一步的贪心选择不会错过全局最优解。算法具有“无后效性”（即某一步决策后，后续决策不再受此影响）和“贪心选择性质”。

• 优点：贪心法通常简单高效，时间复杂度较低，适合大规模数据。

• 缺点：并非所有问题都能用贪心法解决，有时贪心选择会导致无法达到全局最优解。例如，区间调度问题在某些情况下不能使用贪心法直接求解。