算法设计与分析第五章作业

[计科2301陈嫣]

1. 请用回溯法的方法分析“最小重量机器设计问题”

1.1 说明“最小重量机器设计问题"的解空间

解空间可以看作是所有可能选择部件的组合。每个部件有两种状态：选择或不选择。因此，解空间的大小是2^n（n是部件的数量）

 

1.2 说明 “最小重量机器设计问题"的解空间树

解空间树是一个二叉树，每个节点代表一个选择点，左子树表示不选择当前部件，右子树表示选择当前部件。从根节点开始，依次考虑每个部件，直到遍历完所有部件或达到目标价值

 

1.3 在遍历解空间树的过程中，每个结点的状态值是什么

在遍历解空间树的过程中，每个节点的状态值通常包含以下几个部分：

当前选择的总重量：表示从根节点到当前节点所选择的部件的总重量

当前选择的总价值：表示从根节点到当前节点所选择的部件的总价值

当前考虑的部件索引：表示当前正在考虑的部件（用于遍历所有部件）

最优解的状态：在遍历过程中，记录当前找到的最优解（最小重量且满足价值要求的解）

 

1.4 如何利用限界函数进行剪枝

1. 重量上界剪枝：如果当前选择的总重量加上剩余部件中最重的部件的重量仍然小于当前记录的最优解的重量，且当前选择的总价值还未达到目标价值，那么这条路径可以剪枝，因为它不可能产生更优解

2. 价值下界剪枝：如果当前选择的总价值加上剩余部件中所有部件的价值之和仍然小于目标价值，那么这条路径也可以剪枝

3. 最优解更新：在遍历过程中，如果发现一个解的总重量小于当前记录的最优解且总价值满足目标价值，则更新最优解

 

2. 你对回溯算法的理解

回溯算法是一种通过探索所有可能的候选解来找出所有解的算法。如果候选解被确认不是一个解（或者至少不是最后一个解），回溯算法会通过在上一步进行一些变化来丢弃该解，即“回溯”并尝试另一个可能的候选解。回溯算法的时间复杂度通常较高，因为它需要遍历解空间树的所有可能路径，但通过剪枝可以显著减少搜索空间，提高算法的效率。