算法设计与分析第五章作业

[软工2301余忠玹]

1. 最小重量机器设计问题的回溯法分析

最小重量机器设计问题是指在给定一组机器组件的情况下，设计一台机器，使得它的重量最小，同时满足设计要求。每个组件有不同的重量和功能，而机器需要选择一部分组件来构建。

1.1 最小重量机器设计问题的解空间

在最小重量机器设计问题中，解空间是所有可能的机器组件选择的组合集合。每个组件可以选择或者不选择，这样就形成了一个二叉树结构。

1.2 最小重量机器设计问题的解空间树

解空间树是从根节点开始，每个分支代表选择或不选择某个组件。解空间树的结构如下：

• 根节点表示还没有选择任何组件。
• 每个非叶节点代表做出某个选择（选择某个组件或不选择）。
• 每个叶节点代表选择的最终方案，直到所有组件都被考虑过。

对于 nn 个组件，解空间树是一个高度为 nn 的二叉树，其中：

• 每一层代表决策过程中的一个组件。
• 每个节点的两个子节点分别表示选择该组件和不选择该组件的两种情况。

解空间树的大小是 2n2^n，每个叶节点都代表一个可能的方案。

1.3 遍历解空间树时的结点状态值

每个结点的状态值可以用一个二进制向量来表示，其中每个二进制位表示是否选择对应的组件。例如：

• 如果我们有 3 个组件，当前结点的状态是 101，表示选择了第 1 和第 3 个组件，而不选择第 2 个组件。
• 状态值记录了当前节点下的选择情况，并且在遍历过程中，这些状态会变化。

在回溯的过程中，状态值会不断更新，直到找到一个可行解，或者回溯到上一层进行其他选择。

1.4 如何利用限界函数进行剪枝

回溯法的一个核心思想是剪枝，即在某些情况下我们可以提前终止搜索，避免无谓的计算。

• 限界函数（bound function）用于估算当前选择方案的上界或下界，以判断是否继续深入搜索。
  • 如果当前的重量已经大于最小重量，则可以停止搜索该分支。
  • 如果当前状态下的最优解无法优于当前已知的最优解，那么就可以跳过该节点，直接回溯。

具体来说，我们可以使用以下策略：

• 在每个节点处计算当前方案的重量和效能。
• 如果当前的重量加上后续可能选择的组件的最小重量已经大于已知的最小解，那么就可以剪枝，避免继续遍历该分支。
• 如果当前选择的组件已经不可能满足设计要求，或者已经超过了某个设定的重量上限，也可以通过剪枝跳过该分支。

通过引入限界函数，我们可以有效地减少不必要的计算，避免遍历所有的 2n2^n 个节点，从而提高回溯法的效率。

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2. 回溯算法的理解

回溯算法是一种用于求解组合问题的深度优先搜索方法。它逐步构建解空间树，并通过回溯的方式探索每一个可能的解。回溯法的主要思想是尝试从当前结点出发，沿着树的一条分支走下去，直到到达叶子结点或无法继续走下去（满足某个限制条件时）。当不能继续走下去时，回溯到上一结点，尝试其他可能的选择。回溯算法虽然能够穷尽所有可能的解，但如果没有剪枝策略，计算量非常大。