算法设计与分析第五章作业

计科2301李嘉乐 2024-12-18 17:58:25

1. 请用回溯法的方法分析“最小重量机器设计问题”

1.1 说明“最小重量机器设计问题"的解空间

最小重量机器设计问题可以看作是一个组合优化问题，其中目标是从多个供应商中选择每个部件的最佳供应商，以使得总成本不超过给定的预算，并且总重量最小。解空间由所有可能的供应商组合组成，每个部件可以从m个供应商中选择一个。因此，解空间的大小为m^n，其中n是部件的数量，m是供应商的数量。

1.2 说明 “最小重量机器设计问题"的解空间树

解空间树是一个树形结构，其中每个节点代表一个部件的供应商选择。树的深度等于部件的数量n。树的每一层对应一个部件，每个节点对应一个可能的供应商选择。从根节点到叶节点的路径代表一个完整的解决方案（即每个部件的供应商选择）。树的每个节点可以有m个子节点，每个子节点对应一个不同的供应商选择。

1.3 在遍历解空间树的过程中，每个结点的状态值是什么

在遍历解空间树的过程中，每个节点的状态值通常包含以下几个部分：

当前选择的总重量：表示从根节点到当前节点所选择的部件的总重量

当前选择的总价值：表示从根节点到当前节点所选择的部件的总价值

当前考虑的部件索引：表示当前正在考虑的部件（用于遍历所有部件）

最优解的状态：在遍历过程中，记录当前找到的最优解（最小重量且满足价值要求的解）

1.4 如何利用限界函数进行剪枝

重量上界剪枝：如果当前选择的总重量加上剩余部件中最重的部件的重量仍然小于当前记录的最优解的重量，且当前选择的总价值还未达到目标价值，那么这条路径可以剪枝，因为它不可能产生更优解
最优解更新：在遍历过程中，如果发现一个解的总重量小于当前记录的最优解且总价值满足目标价值，则更新最优解
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<climits>
using namespace std;

int n, m, d, cw = 0, cc = 0, minw = INT_MAX;
int pw[30][30], pc[30][30], list[30], Lastlist[30];

void Backtrack(int t)
{
if (t > n)
{
if (cc <= d && cw < minw)
{
minw = cw;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
Lastlist[i] = list[i];
}
}
return;
}

int remainingMinWeight = 0;
for (int i = t; i <= n; i++)
{
int minWeight = INT_MAX;
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
minWeight = min(minWeight, pw[i][j]);
}
remainingMinWeight += minWeight;
}
if (cw + remainingMinWeight >= minw) return;

for (int i = 1; i <= m; i++)
{
if (cc + pc[t][i] <= d)
{
cw += pw[t][i];
cc += pc[t][i];
list[t] = i;
Backtrack(t + 1);
cw -= pw[t][i];
cc -= pc[t][i];
}
}
}

int main()
{
cin >> n >> m >> d;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
cin >> pc[i][j];
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
cin >> pw[i][j];
}
}
Backtrack(1);
cout << minw << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cout << Lastlist[i] << " ";
}
return 0;
}