算法设计与分析第五章作业

[CLbaby.]

1. 请用回溯法的方法分析“最小重量机器设计问题”

1.1 说明“最小重量机器设计问题"的解空间

这个问题的解空间是在n个部件的问题规模下，m个供应商供应每种部件的价格和重量，总重量不超过d的所有可能的机器设计方案的集合。

1.2 说明 “最小重量机器设计问题"的解空间树

这是一个n层的m叉树

 

树的深度：为 n，对应 n 个部件。

每层的分支数：为 m，对应每个部件的 m 个供应商。

根节点：初始状态，无任何部件选择。

内部节点：表示当前已经为某些部件选择了供应商，但未完成所有部件的选择。

叶子节点：完整的供应商组合，每个叶子节点表示一个可行的机器设计方案。

1.3 在遍历解空间树的过程中，每个结点的状态值是什么

在遍历解空间树时，每个节点的状态值包括：

已选择的供应商集合：当前部件选择了谁做供应商。

当前总价格：已经选择的供应商价格总和，即c[i][j]。

当前总重量：已经选择的供应商重量总和,即w[i][j]。

1.4 如何利用限界函数进行剪枝

第一：要考虑当前的重量与上一个已经找到的解的重量做对比，如果当前重量已经比之前的大，那就不用继续往下搜索了。

第二：考虑当前的花费与上一个可行解的花费做对比，如果花费比上一个的还大，那就不用继续往下搜索。

2. 你对回溯算法的理解

回溯算法是一种基于 试探 和 回退 的暴力搜索方法，适用于求解 组合、排列、最优化 等问题。优点是简单好理解，并且可以剪枝来避免无效的搜索；缺点是它的时间复杂度是指数级的，当问题规模较大时，对空间和时间的花费很大。在写回溯法的时候往往用到递归，它通过将问题分解为更小的子问题，并将这些子问题的解组合起来，从而解决原问题。递归有时候难以理解，因为我们试图用人脑去完整模拟整个过程。其实这样很容易因为多层嵌套的逻辑混乱，导致理解困难甚至错误。递归的过程可以被视作一个“黑盒子”，我们只需关注输入和输出，而不必过度模拟每一步的递归过程。对此，我们只需要定义清晰的递归边界和逻辑，写好边界条件，限界函数以及递归表达式，剩下的就交给计算机去处理了。这样，我们可以更加从容地设计递归算法，避免混乱，专注于解决问题本身。