算法设计与分析第五章作业

[计科2301林宇丹]

1. 最小重量机器设计问题的回溯法分析

1.1 解空间

最小重量机器设计问题的解空间是指所有可能的机器设计方案的集合。假设机器由若干个部件组成，每个部件有多种不同的型号可供选择，每种型号的重量和性能可能不同。解空间中的每个解都是一个完整的机器设计方案，即每个部件都选择了其中一种型号。

1.2 解空间树

解空间树是一个多叉树，树的根节点表示尚未选择任何部件的设计方案。树的每一层代表一个部件的选择，每个分支代表该部件的一种型号选择。树的叶子节点表示一个完整的机器设计方案，即所有部件都已选择完毕。

1.3 每个结点的状态值

在遍历解空间树的过程中，每个结点的状态值包括：

• 当前已选择的部件型号：记录从根节点到当前结点路径上所选择的各部件型号。
• 当前总重量：已选择部件的重量之和。
• 当前性能指标：已选择部件的性能指标之和或乘积，取决于性能指标的计算方式。
• 剩余未选择的部件：尚未选择型号的部件列表。

1.4 利用限界函数进行剪枝

限界函数用于在遍历解空间树的过程中，判断当前结点是否有可能产生一个比当前已知最优解更优的解。如果不可能，则剪去该结点及其所有子结点，从而减少搜索空间，提高算法效率。限界函数通常基于以下原则：

• 重量限界：如果当前总重量加上剩余部件的最小可能重量之和已经超过了当前已知的最小重量，则剪枝。
• 性能限界：如果当前性能指标达不到要求，或者即使所有剩余部件都选择性能最高的型号，最终性能指标仍然达不到要求，则剪枝。

2. 对回溯算法的理解

回溯算法是一种系统化的搜索算法，用于求解具有明确约束条件的组合优化问题。其核心思想是通过构建解空间树并深度优先遍历该树来寻找问题的解。在遍历过程中，回溯算法会根据问题的约束条件和限界函数不断剪枝，从而避免无谓的搜索，提高求解效率。回溯算法适用于解空间较大且具有明确约束条件的问题，如组合问题、排列问题、子集问题等。其优点是能够找到问题的所有解或最优解，但缺点是对于规模较大的问题，计算时间可能会较长。