算法设计与分析第五章作业

[SmokeExtractor]

1. 回溯法分析“最小重量机器设计问题”

1.1 解空间说明

“最小重量机器设计问题”的解空间是一个 n 层 m 分支的解空间树，其中每一层代表一个部件的决策，每一层的分支代表选择不同供应商的方案。
总共有 mnm^n 个可能的组合，每种组合对应一个供应商选择方案。

• 解空间结构：
  • 每个节点表示当前已选择的供应商方案和累计的总重量及总成本。
  • 目标是找到所有满足 总成本 ≤ d 的方案，并选择其中总重量最小的。

1.2 解空间树说明

• 解空间树的层次： 解空间树有 nn 层，对应 nn 个部件。
• 每层的分支数： 每层有 mm 个分支，对应选择第 tt 层的 mm 个供应商之一。
• 根节点： 表示尚未选择任何部件，累计成本 tc=0tc = 0，累计重量 tw=0tw = 0。
• 叶节点： 表示选择了所有部件的供应商方案，计算出总重量 twtw 和总成本 tctc。

1.3 节点的状态值

在遍历解空间树的过程中，每个节点的状态值包括：

1. 当前已选的供应商组合 xx： 一个数组，记录当前已选择的供应商。
2. 当前累计重量 twtw： 当前已选方案的总重量。
3. 当前累计成本 tctc： 当前已选方案的总成本。
4. 层数 tt： 表示当前正在处理第 tt 个部件。

1.4 利用限界函数剪枝

为了减少不必要的搜索，限界函数会判断是否有必要扩展某节点：

1. 成本剪枝： 若当前累计成本 tc+a[t][i].c>dtc + a[t][i].c > d，则剪去该分支，因为总成本已超过限制。
2. 重量剪枝： 若当前累计重量 tw+a[t][i].w≥minwtw + a[t][i].w \geq \text{minw}，则剪去该分支，因为重量已不可能更优。
3. 层次剪枝： 若已经达到叶节点（t>nt > n），则检查当前解是否比最优解更优，否则不扩展。

2. 对回溯算法的理解

2.1 回溯算法的本质

回溯算法是一种 系统地搜索解空间 的方法，适用于组合优化问题。其核心思想是：

1. 枚举所有可能的解： 通过递归构造解空间树。
2. 动态地判断可行性： 利用限界函数对无效分支进行剪枝，避免冗余计算。
3. 回退并继续探索： 在递归结束时，回退到上一个状态，继续尝试其他可能。

2.2 回溯算法的特点

1. 完整性： 回溯算法会穷举所有解，并返回最优解或所有可行解。
2. 高效性： 使用剪枝技术减少不必要的计算，提升效率。
3. 递归性： 回溯通过递归函数构造解空间树，每个递归层表示一个决策点。

2.3 回溯算法的优缺点

• 优点：
  • 简单直接，代码结构清晰。
  • 可灵活处理不同约束条件。
• 缺点：
  • 在解空间较大时，可能面临性能瓶颈。
  • 剪枝策略的设计对算法效率影响很大。

2.4 回溯算法的适用场景

1. 组合问题： 如子集、排列、组合等。
2. 约束满足问题： 如数独、图着色问题。
3. 优化问题： 如背包问题、机器设计问题。