算法设计与分析第五章作业

akayukikaze 2024-12-22 23:06:39

1.1 “最小重量机器设计问题” 的解空间

“最小重量机器设计问题” 旨在从给定的多个部件集合中，为每个部件选择一种型号，使得组装成的机器在满足一定性能要求的前提下重量最小。

其解空间是由各个部件可选型号的所有组合构成的。例如，假设有个部件，第个部件有种型号可供选择（），那么解空间的大小就是种可能的组合情况。可以将解空间看作是一个维的向量空间，每一维对应一个部件，向量的每个分量表示该部件所选取的型号。

1.2 “最小重量机器设计问题” 的解空间树

解空间树的结构：
解空间树通常是一棵叉树，其中为部件的数量。树的第层节点对应着对第个部件进行型号选择。根节点位于第 0 层，表示问题的初始状态，还未对任何部件做选择。从根节点开始，每个节点的分支数等于对应部件的可选型号数量。
示例说明：
比如有 3 个部件，部件 1 有 2 种型号，部件 2 有 3 种型号，部件 3 有 2 种型号。那么根节点有 2 个分支（对应部件 1 的 2 种选择），这 2 个分支节点又各自有 3 个分支（对应部件 2 的 3 种选择），而这些节点再各自有 2 个分支（对应部件 3 的 2 种选择），最终构成一棵多层的叉树形式的解空间树。

1.3 在遍历解空间树的过程中，每个结点的状态值是什么

部分解向量：
每个节点代表着在搜索过程中的一个中间状态，其状态值包含一个部分解向量，记录了从根节点到该节点路径上对各部件所做的型号选择。例如在上述 3 个部件的例子中，处于第二层的某个节点（对应已经对部件 1 做了选择，正在考虑部件 2 的选择），其状态值里的部分解向量会记录部件 1 所选取的具体型号。
当前重量和性能相关指标：
同时还会记录基于当前部分解所对应的机器的当前重量（根据已选部件型号按照重量计算规则得到的累计重量）以及与性能相关的一些指标（例如已选部件组合起来是否满足最低性能要求等情况），这些状态值用于后续判断是否继续扩展该节点以及与其他可能解进行比较等操作。

1.4 如何利用限界函数进行剪枝

限界函数的定义：
限界函数用于估计从当前节点继续向下扩展所可能得到的解的情况，通过设置合理的界限条件，判断是否有可能在当前节点的子树中找到更优解（更小的重量且满足性能要求）。
具体剪枝操作：
在遍历解空间树时，对于每个节点，计算其对应的限界函数值。如果该值表明继续沿着当前节点向下扩展所得到的解不可能比已经找到的某个可行解更优（比如当前部分解的重量已经超过了已知的较优解的重量，或者性能指标达不到要求等），那么就可以剪掉以该节点为根的子树，不再对其进行搜索遍历，从而减少不必要的搜索空间，提高算法效率。例如，已知当前已找到的一个可行机器设计方案的重量是，当前节点按照限界函数估算出其后续扩展得到的所有解对应的机器重量下限都大于，则该节点及其子树可被剪枝。

回溯算法是一种用于求解组合优化等问题的通用搜索算法。它通过系统地遍历解空间树来寻找问题的解。

基本思想：
从根节点出发，按照深度优先搜索的策略逐步构建解空间树中的节点，在搜索过程中，每到达一个节点就判断该节点对应的部分解是否满足问题的约束条件（如 “最小重量机器设计问题” 中的性能要求等），如果满足则继续向下扩展节点；若不满足则回溯到该节点的父节点，尝试其他分支。同时，利用限界函数等手段对那些不可能产生更优解的子树进行剪枝，避免无效搜索，直到遍历完整个解空间树或者找到满足要求的最优解为止。
特点与应用场景：
回溯算法的优点是能够较全面地搜索解空间，理论上可以找到所有满足条件的解，适用于求解如排列组合、子集选取、地图着色等众多具有组合性质的问题。但缺点是其时间复杂度往往较高，在最坏情况下可能需要遍历整个庞大的解空间，所以在实际应用中，设计合理有效的限界函数等优化手段来减少搜索空间显得尤为重要。

总之，回溯算法是一种基于深度优先搜索并结合剪枝策略的强大搜索算法，在处理许多复杂的组合优化问题中有着广泛的应用和重要的地位。

给出一个用回溯法解决最小重量机器设计问题的具体代码示例

用回溯法解决“最小重量机器设计问题”时，如何确定最优解？

回溯法与其他解决“最小重量机器设计问题”的算法相比有何优势和劣势？

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