算法设计与分析第五章作业

[Yun839I]

 

1. 最小重量机器设计问题解空间

• 回溯算法是一种通过逐步尝试每一种可能的选择，并在发现某一选择无法导致最优解时返回的方法。其核心思想是递归地构造解空间树，通过深度优先的方式搜索解空间并进行剪枝，以减少计算量。

• 在回溯算法中，通常需要定义一个递归函数来搜索解空间。递归函数在每一步都会尝试一种选择，并递归地调用自身来继续搜索。如果在某一步无法找到新的选择或当前部分解已经不满足条件，则递归函数会返回上一层，并尝试下一种选择。这种逐层返回并尝试新选择的过程就是回溯。

• 回溯算法的优点是可以找到所有可能的解，并且对于某些问题可以很容易地实现剪枝等优化手段来提高效率。然而，回溯算法的缺点也很明显，即当问题的规模较大时，解空间可能会非常庞大，导致搜索时间过长或无法找到解。因此，在实际应用中，需要根据问题的具体情况来选择合适的算法和优化手段。

• 回溯算法理解

• 利用限界函数进行剪枝可以提前排除不可能产生最优解的分支。上界限界函数计算当前设计的总重量并估计继续选择其他部件后的总重量；下界限界函数估计最优解的下界，如果当前设计已经不可能找到更优解则进行剪枝。

• 在最小重量机器设计问题中，限界函数可以是一个评价函数，它根据当前部分解的状态值（如重量）和已知的最优解（或当前找到的最好解）来判断是否需要继续搜索该分支。如果当前部分解的重量已经超过了已知的最优解的重量，或者根据某种启发式规则判断该分支不太可能产生更优的解，那么就可以对该分支进行剪枝，即不再继续搜索该分支下的其他节点。

• 限界函数剪枝

• 在遍历解空间树的过程中，每个结点的状态值包括当前已选部件列表、当前设计的总重量、是否满足约束条件以及当前已知的最优解。这些信息用于评估和剪枝。

• 遍历解空间树结点状态值

• 解空间树是一个表示所有可能解的树形结构。根节点代表初始状态，每一层对应一个部件的选择，从当前节点向下延伸的分支代表不同的供应商选择，叶子节点代表最终的机器设计方案。

• 最小重量机器设计问题解空间树

• 最小重量机器设计问题的解空间由所有可能的部件选择组合构成。每个部件可以从多个供应商中选择一个，因此解空间的大小为m^n（其中n是部件的数量，m是供应商的数量）