一个求期望值的问题

[piaozi2003]

在一个晚会上，n个人把他们的帽子挂在柜子的帽架上。帽子是乱放的，切每个人随机的
选择一项，预期有多少人能够恰好选到自己的帽子？

//题目摘自《离散数学及其应用》

希望能够计算过程和适当描述

[piaozi2003]

为了让别人看一下，自己顶顶!

[guokechang]

老大，这是数学问题吧，是不是求期望值的东东
计算机不擅长这个吧？？？？？？

[windindance]

按照概率来说，平均是1个人

[hblinlin]

我觉得应该是成双的出现..
所以是2n个,(你= 0,1,2..)


此n非同彼n

[windindance]

n=1: 1个人
n=2:
1/2的可能性2个人都拿到自己的
1/2的可能性2个人都拿不到自己的
所以概率平均下来是1/2*2 + 1/2*0 = 1

n=3:
以1 表示拿到正确的，0表示错误的：
人A B C：
1 1 1 1/3*1/2*3=1/2
1 0 0 1/3 *1/2 * 1 = 1/6
0 1 0 1/3 * 1/2 = 1/6
0 0 1 1/3 * 1/2 = 1/6
累计的平均概率仍然是1

[piaozi2003]

答案的确是一个，能否提供适当数学推理过程!

[jingyueid]

求各种排列的概率的平均。
1/P(N) * P(N)
那么一定是1。

[zhang_jiang]

使用Monte Carl方法求近似解可以吗?

[piaozi2003]

我指的就是求期望值的方法！

[du51]

引入N个随机变量x1,x2.....xn
1 ,第i个人拿到自己的帽子.
=>xi =
0 ,第i个人拿到的不是自己的帽子.
此时.有 P(xi=1)=1/N 且P(xi=0)=1-1/N

=> E(xi)=1/N (i=1,2,...,N)
又知 拿到自己帽子的的人数为X
即 X=X1+X2+...+Xn

有期望相关定律可知:
E(X)=E(X1)+E(X2)+...E(Xn)=1/N+1/N+...+1/N=1
结果为常量(1).故无论多少人,平均都有1人拿到自己的帽子.
证毕.

[du51]

引入N个随机变量X1,X2,...,Xn
则有如下:
/ 1, 表示第i个人拿到的是自己的帽子.
Xi=
\ 0, 表示第i个人拿到的不是自己的帽子.
因为每人拿到自己帽子的几率都是1/N
则有 P(Xi=1)=1/N 且P(Xi=0)=1-1/N
此时可知第i人
E(Xi)=1/N (i=1,2,...,N)

此时我们算X个人拿到自己的帽子.
即:X=X1+X2+...+Xn (因为拿到帽子是1 ,拿不到是0)
由期望的加法定理:
E(X)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xn)
=1/N+1/N+...+1/N
=1
结果为常量
由此可知:
无论N为多大.即不论有多少人.结果不变.为1
也即.平均有一个人拿到自己的帽子.

[darkstar21cn]

偶把组合数学丢了很久了，书上就有这种类似的题目。

[zhang_jiang]

to du51(郁郁思扬):
每个人拿到自己的帽子这个事件不是独立的.
如A拿了B的帽子, B就不能拿到自己的帽子了. 所以每个人的概率是1/N是不对的.

to piaozi2003():
选个好的随机函数.
每次实验:
N个人产生N个1-N的数, 放进数组A[N+1], 如果A[i]=i, i=1, ..., N
则Count加1, 最后的Count就是一次实验能拿到自己帽子的人数.
进行足够多的实验, 就能近似的知道期望值.

[chunhai12]

《Introduction to Algorithms》Chapter5有讲

[zhang_jiang]

理解错误, du51(郁郁思扬)的证明正确.

[du51]

to du51(郁郁思扬):
每个人拿到自己的帽子这个事件不是独立的.
如A拿了B的帽子, B就不能拿到自己的帽子了. 所以每个人的概率是1/N是不对的.
-----------------------------------------------------------------------
注意此处:每个人随机的选择一项
这里没有先行后序的关系.必然为1/N

[piaozi2003]

OK!谢谢各位；