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如何证明:1、2、4、8、16、32、64、128、256 这九个数中,任取九个数(可重复选取),如果累加和为511,那么这九个数必定各不相同。

jyk1970 2006-04-16 02:30:49
如何证明:1、2、4、8、16、32、64、128、256 这九个数中,任取九个数(可重复选取),如果累加和为511,那么这九个数必定各不相同。
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jseeker 2006-04-19
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信服dirdirdir3(风)的证明。

To jyk1970

但如何排除数目不减少的替换,如
"有3个相同的数,而缺少另外2个数"
"有4个相同的数,而缺少另外3个数"
"有5个相同的数,而缺少另外4个数"
等等,之类的可能性呢?

M1,M2,...,M9 (形如2^n 的九个数)
假设M1=M2=M3
那么M1与M2进行一次合并之后得到八个数:2*M1,M3,...,M9
这应该没问题

=========
你这8个数如果是不同的,并且系数都为1,那么不可能得到511,不够大的。



zzwu 2006-04-19
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你说的对!

我在归纳证明中,就是利用

X(n)> X(n-1)+...+X1

这一事实,它是对任意n成立的,所以,

为了保持和式的数值递增X(n),而和式的项数只增多1个,

必须在求和式中添加单个的X(n),不能选择别的,否则项的数目至少增多2个。


moloto2004 2006-04-18
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我的思路是:
假设Sigma(xi * 2^i) = 511 i=0.....8 且 x0 + x1 + ... x8 = 9
如果x0 ..... x8不全为一,反证这种情况不可能。

证明:
故 Sigma(xi * 2^i) 中必然至少有 一 xm >=2 (否则和数无法达到511) 且m<=7
现将两个2^m 用一个2^(m+1)表示,故原命题等价于挑选小于等于8个不等的数的和等于511.
显然511 = 0b111111111 需要9个不等的数表示。所以反证得证
jyk1970 2006-04-18
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前面省略。

如果存在一个9个数(有重复)的序列,且这9个数的和为511,
那么应该存在一个小于9个数的序列(这个序列的数是各不相同的)它们的和是511,
然而我们知道1+2+4....+256=511.也就是不存在任何小于9个数的序列(这个序列的数是各不相同的)它们的和是511。
因此不存在存在一个9个数(有重复)的序列这9个数的和为511。

其中(有重复)包含一下情况:
"有3个相同的数,而缺少另外2个数"
"有4个相同的数,而缺少另外3个数"
"有5个相同的数,而缺少另外4个数"
zzwu 2006-04-18
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我的意思是,要排除类似这样的情况:

出现了3个Mi位,但缺少了一个Mj,一个Mk, (j,k不是i)总数不变

显然,对具体的i,j,k很容易证明不可能,但要一般地加以说明就麻烦了.

jyk1970 2006-04-18
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zzwu(未名)
但如何排除数目不减少的替换,如
"有3个相同的数,而缺少另外2个数"
"有4个相同的数,而缺少另外3个数"
"有5个相同的数,而缺少另外4个数"
等等,之类的可能性呢?

M1,M2,...,M9 (形如2^n 的九个数)
假设M1=M2=M3
那么M1与M2进行一次合并之后得到八个数:2*M1,M3,...,M9
这应该没问题
zzwu 2006-04-18
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严格证明可以解方程。

下面给出方程形式,但为了方便,设总数是3个,即改成:

证明1、2、4 这3个数中,任取3个数(可重复选),
如果累加和为7,那么这3个数必定各不相同。

[证]假设1、2、4 三个数的个数分别为x,y,z个,
则按题意,有下列关系式:

(1) 1x+2y+4z=7;
(2) x+y+z=3;
(3) x,y,z均为>=0的整数;

下面就是解此方程组的整数解,很容易得出x=y=z=1.


zzwu 2006-04-18
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线性无关的思想也有问题:

三个变两x,y,z如果ax+by+vz=0,或z=ax+by,就是线性相关,不是线性无关.

而在我们这里,例如,4就可以用1,2表示: 4是2个1和1个2之和.
zzwu 2006-04-18
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dirdirdir3(风)的证明方法有道理,但论证中也有漏洞:

根据"两个相同的其中的数相加就变为一个新的这种数",
从而推断"合并后会使总数减少"是对的,

但如何排除数目不减少的替换,如
"有3个相同的数,而缺少另外2个数"
"有4个相同的数,而缺少另外3个数"
"有5个相同的数,而缺少另外4个数"
等等,之类的可能性呢?

「已注销」 2006-04-18
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。。。。。。
线性无关。。

你们在说什么我不懂。。哈哈

不过倒是有
X(n)> X(n-1)+...+X1
这不就足够了?
zzwu 2006-04-18
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至于为什么由前一个2^n-1类型数的分解唯一,可推出
后一个2^(n+1)-1的分解唯一,还是利用前面提到的理由。

例如,由1+2=3,如何推出1+2+4=7,可以这样说明:

为了达到和数7,等式1+2=3右边的3必须加一个4,
故左边也应加上总和为4的数,为此,它可以从1,2,4中选出,
如果选两个2,则左边组成1+2+(2+2),总和为7,但数字个数为4,
如果选两个1,一个2,则左边组成1+2+(1+1+2),总和为7,但数字个数为5,
如果选四个1,则左边组成1+2+(1+1+1+1),总和为7,但数字个数为6,

总之,用小的数来凑,总的数字个数至少为4,超过要求个数3,不满足要求,

所以,只能选单独得一个4.
zzwu 2006-04-18
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其实我一开始那个归纳证明是可以的,

不要写成通用式,改成具体的1,2,3,4...来论证,就清楚了:

首先我们有恒等式:(1) 1=1

等式2边各加2可得:(2) 1+2=1+2=3,这是3的唯一的一种2-分法,

等式2边各加4可得:(3) 1+2+4=3+4=7, 这是7的唯一的一种3-分法,

等式2边各加8可得:(4) 1+2+4+8=7+8=15, 这是15的唯一的一种4-分法,

等式2边各加16,得:(5) 1+2+4+8+16=15+16=31, 这是31的唯一的一种5-分法,

等等


mathe 2006-04-18
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推广一下就容易证明了:
证明: 从1,2,2^2,...,2^(n-1)中挑选不超过n个数(可以重复),使它们和等于2^n-1,唯一可以选择的方案是每个数都挑选一个,总共挑选n个数.
使用归纳法证明:
对于n=1,结论显然成立.
假设对于n=k,结论已经成立,
现在假设对于n=k+1,已经选择出不超过k+1个数它们和为2^(k+1)-1,由于和为奇数,其中必然至少有一个1,去掉这个1,和为2^(k+1)-2.由于和为偶数,其中1的数目是偶数个,我们将没两个1合并成一个2,这样,我们可以得到一个最多含有k个数的集合,它们都从2,2^2,...,2^k,和为2^(k+1)-2,
将所有数除以2,就可以得到n=k的情况,所以由归纳假设,这里必须是k个数,而且互不相同.
然后容易可以看出,对于原先的情况,只能是k+1个数,而且也只能只有一个数字1,...
jyk1970 2006-04-17
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我需要到用户那里转一圈,晚上继续与大家探讨。
jyk1970 2006-04-17
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二进制权在加某个bit的时候可能减小,在减某个bit的时候可能增大!
我认为IT_worker(IT工人)的核心思路与我的思路是等效的.
jyk1970 2006-04-17
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重新整理的zzwu(未名)的证明:

命题
1、2、4、...2^(n-1) 这n个数中,任取n个数(可重复选),
如果累加和为2^(n)-1,那么这n个数必定各不相同

(1) n=1:显然成立

(2) 设命题对n=i时成立,即
1、2、4、...2^(i-1) 这i个数中,任取i个数(可重复选),
如果累加和为2^(i)-1,那么这i个数必定各不相同,
要证明
1、2、4、...2^(i) 这i+1个数中,任取i+1个数(可重复选),如果累加和为
2^(i+1)-1,那么这i+1个数必定各不相同.
[证]
2^(i+1)-1=1+2+4+...+2^(i-1)+2^(i)
上式前i项之和=2^(i)-1,且已归纳假设有此和的i个数各不相同,
但上式中的最后一项不可能用其余的1项来代替(否则和数小了),也
不可能用其余的多个项来代替(否则总的数目多了)。

疑问:且已归纳假设有此和的i个数各不相同。有此和的可不一定是i个数啊?
treeroot 2006-04-17
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真的好简单

使用二进制表示就很容易看出来了!

每个数字都表示不同的二进制位
IT_worker 2006-04-17
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定义一:对于任何x=a[1]+a[2]+…+a[n],这里a[i]都是2的幂,并且a[i]各不相同,那么称a[1]+a[2]+…+a[n]为x的二进制表示。
定义二:对于任何x=b[1]+b[2]+…+b[m],这里b[i]都是2的幂,b[i]可以相同,那么称b[1]+b[2]+…+b[m]为x的二幂和表示。
定理:任何数的二幂和表示的个数都大于等于二进制表示的个数。
证明:使用递归法。
假如x=a[1]+a[2]+…+a[n]是x的二进制表示,x=b[1]+b[2]+…+b[m]是x的一个二幂和表示,记y=x-b[1],容易证明y的二进制表示的个数大于等于n-1,由递归可知y的任何二幂和表示的个数大于等于n-1,所以可知x的任何二幂和表示个数大于等于n。
zzwu 2006-04-17
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这是严格的证明,或许也是最简证明方法之一了.
zzwu 2006-04-17
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归纳法证明如下:

(1) n=1:显然成立

(2) 设命题对n成立,即
1、2、4、...2^n 这n个数中,任取n个数(可重复选),
如果累加和为2^(n+1)-1,那么这n个数必定各不相同,
要证明
1、2、4、...2^(n+1) 这n+1个数中,任取n+1个数(可重复选),如果累加和为
2^(n+2)-1,那么这n+1个数必定各不相同.
[证]2^(n+2)-1
=1+2+4+...+2^(n-1)+2^(n)+2^(n+1)
上式前n项之和=2^(n+1)-1,且已归纳假设有此和的n个数表示唯一,
但上式中的最后一项不可能用其余的1项来代替(否则和数小了),也
不可能用其余的多个项来代替(否则总的数目多了)。
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